集合 要素の個数 カップ キャップ ∪ ∩ - 高認数学対策
高卒認定、高認 数学のの新範囲「集合の要素の個数」の問題の解き方の解説。数学が苦手な人でも簡単な基礎（約数や倍数、カップとキャップなど）を覚えれば、簡単に解けます。ぜひ、高認数学の得点源にしよう！
集合の要素の個数
復活!!「集合と命題」
「集合と命題」は大学入学資格検定（大検）の数学Iで出題されていましたが、教育課程の改正に伴い、高認の数学の範囲外になりました。そして、再度、教育課程が改正され、平成26年以降の高卒認定（高認）の数学の範囲に「集合と命題」が再び加わることになりました。
※「集合と命題」は平成24年度の高校入学生から実施されている新教育課程の数学Iのカリキュラムに再び組み込まれました。平成26年の高卒認定試験（高認）は、新教育課程で実施されるため、数学Iの範囲に「集合と命題」が加わることになります。
高卒認定試験（数学）の「集合と命題」の出題内容としては、次の３つが考えられます。
1：集合の要素の個数を求める問題
2：ベン図を選ぶ問題
3：命題（命題の真偽、必要条件、十分条件）
過去問を見ると、1と2が中心に出題されることが予想されます。そのため、当サイトでは、1と2の問題の解き方を解説します。まず、こちらのページでは、1の「集合の要素の個数を求める問題」の解き方を解説します。
高卒認定試験（高認）対策として、特に数学が苦手な人向けの解説です。本文は長くなっていますが、鉛筆で書きながらゆっくりとチャレンジしてみてください。数学が超苦手な人でも理解できるはずですし、出題されれば、ほぼ確実に5点獲得できるでしょう。
※当サイトでは、数学が苦手な人のために、高卒認定試験の問題が解けること（正解すること）を優先した解説を行っているため、数学的な厳密性はございません。予めご了承ください。
基本事項を覚えよう
例えば、次のような問題が大検で毎回のように出題されました。その後、ベン図とよばれる図を使った問題（上記2）も出題されるようになりましたが「ベン図」の問題の解き方は、別のページで説明します。
この問題の中に「全体集合」、「部分集合」、「偶数」、「3の倍数」、「補集合」などの用語が出てきますが、まずは、この用語を覚えることが第1歩です。下の表に覚えるべき内容をまとめました。
| 集合 | 数や人のグループ 高認では、特に、整数、自然数、偶数、奇数、素数、3の倍数、24の約数などのように、数の集合が問題として出題されます。 |
|---|---|
| 全体集合 | 問題を解くときの集合の範囲 例えば、「１以上５以下の整数を全体集合」とすると指定された問題では、１，２，３，４，５の範囲で考えます。７や１０、－1などは無視します。 |
| 部分集合 | 全体集合の中の一部分の集合のこと。 例えば、「0以上10以下の整数を全体集合のうち部分集合Ａを奇数とする」と指定されている問題では、集合Ａは１，３，５，７，９の５つのこと整数のことです。これを数学では、Ａ＝{１，３，５，７，９}と表現します。 |
| 補集合Ａ | 着目している集合以外の要素（Ａでない） 例えば「全体集合を１以上５以下の整数とし、 その部分集合Ａを偶数（２と４）とする」と指定された問題では、 は、「Ａでない」要素を意味するので、１，３，５の３つの整数のことです。 数学では、Ａ={１，３，５}と書きます。 |
※自然数は0が含まれないことに注意！
※素数とは、1または自分自身でしか割り切れない数のことです。例えば、4は1と2と4で割り切れるので、素数ではありません。これに対し7は1または7（自分自身）でしか割り切れないので素数です。素数は、２，３，５，７，11，13，17，19 …（兄さん5時に、セブンイレブン。父さん,いいなと、ついていく）と暗記しておくとよいでしょう。なお、1は素数ではないので要注意！
※一般的には、約数や倍数は負の数やゼロ（0）も含まれます。これまでの高卒認定（高認）試験を見ると、正の範囲で出題となっているので、ここでは正の範囲で考えます。
∩（キャップ）と∪（カップ）
ここでは、∩（キャップ）と∪（カップ）について、問題を解きながら説明します。
超簡単に言えば、∩（キャップ）は2つの集合の共通部分、∪（カップ）は2つの集合を合わせたものです。
また「要素」という言葉が出てきますが、「要素」は集合の中身ひとつひとつのことを言います。実際の試験（高卒認定／高認）では要素の個数を解答する問題が多くなっています。
全体集合Ｕを，Ｕ＝{χ│χは１けたの自然数}とし，Ｕの部分集合を
Ａ＝{χ│χは７以下の素数}，
Ｂ＝{χ│χは1けたの奇数}，
Ｃ＝{χ│５≦χ≦７}
とするとき，次の集合の要素を求めよ。
(1) Ａ∩Ｂ (2) Ａ∪Ｂ (3) (4) (5) Ａ∩
(6) Ａ∪ (7) ∩Ｂ (8)
まずは、集合を書き表します。試験でも実際に書いてください。
と数学独特な表現をしていますが、これは全体集合は1けたの自然数ということを表しています。つまり、
となり、この問題はこの１～９までの範囲で考えるということです。
※集合のＵとカップの∪は形が似ているので、混同しないように気をつけてくださいね。
同じように、部分集合Ａ，Ｂ，Ｃも書き出してみます。
となり、これで準備完了です。
※Ａの「７以下」は７を含みますので注意してください。つまり、「以下」や「以上」はその数を含みます。Ｃの５≦χ≦７は＜の下に＝があるので、５と７を含みます。
まず、（1）のＡ∩Ｂですが、∩（キャップ）は2つの集合の共通部分（共通要素）なので、ＡとＢを見比べて、共通なもの（同じ数）を探します。
すると、３，５，７が共通であることがわかります。よって、
が正解です。
（2）のＡ∪Ｂですが、∪（カップ）は2つの集合を合わせたすべての要素です。ＡとＢを見比べて、すべての数を書き出します。
ＡとＢを合わせると、２，３，５，７，１，３，５，７，９となりますが、同じ要素は重複しないように書いて、小さい順に並べるというルールがあるので、
が正解です。
次に（3）のですが、Ａの頭に棒（━）があります。これは「エイバー」と読みます。そして、は、否定を意味し「Ａでないもの」という意味になります。
Ａは「７以下の素数」であることを問題で指定されているので、「Ａでないもの」とは「７以下の素数でないもの（２，３，５，７でないもの）」という意味です。あくまでも、全体集合Ｕ＝{１，２，３，４，５，６，７，８，９}の中で考えます。この中で、「Ａでないもの」を書き出せばOK。Ａ（２，３，５，７）を除けばよいのです。
が正解です。
同じように（4）のは、
が正解です。
（5）のＡ∩は、はじめに書き出した
と（4）で求めた
の∩（キャップ）です。つまり、Ａとの2つの集合の共通部分（共通要素）です。よく見比べて、もれなく書き出しましょう。すると
となり、要素はひとつです。
同じように、(6)のＡ∪は、
と
を見比べて、∪（カップ）を書き出します。2つの集合を合わせたすべての要素を重複しないように、小さい順に、もれなく書き出します。
となります。
(7)の∩Ｂは、
と
を見比べて、共通する要素をすべて書き出します。
となります。
最後の(8) ですが、Ａ∩Ｂの全体のバー（否定）なので、Ａ∩Ｂでないものを書き出します。
Ａ∩Ｂは（１）で求めており、
なので、全体集合Ｕの中から３，５，７を除いたものを書き出せばOKです。
になります。
このように「集合と要素の個数の問題」では、実際に要素を書き出して考えることが大切です。基礎を覚えれば、集中力の問題と言えるでしょう。
自力で過去問を解いてみよう！
このページで最初に掲載した問題です。ぜひ、自力で解いてみてください。頭の中で考えずに必ず紙に書いて考えてください。
H8年度
